ГлавнаяHigh Frequency › Алгоритмы маркетмейкера. Часть 3

Алгоритмы маркетмейкера. Часть 3

MM_3

Продолжаем разбирать работу JIANGMIN XU "Optimal Strategies of High Frequency Traders". Чтобы составить уравнение оптимального контроля, сначала сформулируем проблему оптимизации алгоритма при используемых стратегиях \theta,  как достижение максимума следующего матожидания:

\begin{equation}\max_{\theta^{mk},\theta^{tk}}\mathbb{E}_0[X_T-\gamma\int^T_0 Y^2_{t-}d[P,P]_t]\end{equation}, где

интеграл \gamma\int^T_0 Y^2_{t-}d[P,P]_t представляет собой штрафную функцию удержания ненулевой открытой позиции рискованного актива, \gamma - постоянный коэффициент, d[P,P]_t - квадратичное изменение средней цены p, X_T - кэш трейдера на момент времени окончания торговли T.

Далее определим функцию, которая представляет активы трейдера после ликвидации всех открытых позиций в конце торговли по алгоритму с помощью маркет ордера:

Q(x,y,p,f,s)=x+py-|y|(\frac{s}{2}+\epsilon), где

x - кэш трейдера,

p- средняя цена (в стакане),

y - открытая позиция,

s - спред,

f - дисбаланс объемов в стакане,

\epsilon - комиссия. 

С учетом функции Q  дадим определение так называемой функции владения, которую мы и будем максимизировать на всем протяжении работы алгоритма:

V(t,x,y,p,f,s)=\sup_{\theta^{mk},\theta^{tk}}\mathbb{E}_t[X_T+P_T Y_T-|Y_T|(\frac{S_T}{2}+\epsilon)-\gamma\int^T_0 Y^2_{t-}d[P,P]_t]

Проблема оптимального контроля решаается с применением динамически программируемых уравнений,и для  составления первого уравнения для котировочных стратегий \theta^{mk} представим инфинитезимальный оператор второго порядка \mathcal{L}:

\mathcal{L}\circ V(t,x,y,p,f,s)=(\mathcal{L}^P+\mathcal{L}^S+\mathcal{L}^F)\circ V(t,x,y,p,f,s)+g^a(f,s,\theta^{mk,b}_t)\cdot V(t,x-(p-s/2+\delta \theta^{mk,b}_t),y+1,p,f,s)+g^b(f,s,\theta^{mk,a}_t)\cdot V(t,x+(p+s/2-\delta \theta^{mk,a}_t),y-1,p,f,s)

\mathcal{L}^P,\mathcal{L}^F,\mathcal{L}^S - инфинитезимальные операторы процесса изменения средней цены P, дисбаланса объема в стакане F  и спреда S соответственно. Несмотря на страшное название данные операторы просто обозначают воздействие изменяющихся в течение времени процессов цены, дисбаланса и спреда на функцию владения - то есть на активы, которыми владеет трейдер. Функции

g^a(f,s,\theta^{mk,b}_t)=\theta^{mk,b}_t \lambda^a+(1-\theta^{mk,b}_t) \lambda^a h(f)

g^b(f,s,\theta^{mk,a}_t)=\theta^{mk,a}_t \lambda^b+(1-\theta^{mk,a}_t) \lambda^b h(-f)

являются ни чем иным, как ожидаемой частотой исполнения лимитных ордеров на биде и аске соответственно. Здесь h(f) - вероятность взятия лимит ордера на лучшем аске(биде) в очереди заявок, в зависимости от дисбаланса f, имеет форму h(u)=1/(1+\exp(\varsigma_0+\varsigma_1 u)), \varsigma_0, \varsigma_1 - положительные константы. \lambda^a,\lambda^b -  частоты прихода маркет ордеров на бид и аск.

Для составления вторoго уравнения  стратегии с маркет ордерами (take strategy) \theta^{tk} , нам понадобится оператор импульсного управления \mathcal{M}:

\mathcal{M}\circ V(t,x,y,p,f,s)=\sup_{\zeta\in\{-\zeta_{max},\zeta_{max}\}}(V(t,x-\zeta p-|\zeta|(s/2+\epsilon),y+\zeta,p,f,s)) .

Этот оператор отражает воздействие на функцию V(t,x,y,p,f,s) стратегии \theta^{tk}, с целью максимизации функции владения в течение применения этой стратегии.

С операторами \mathcal{L},\mathcal{M} мы сможем составить неравенство, которое называется квазивариационное неравенство Хамильтона-Якоби-Беллмана (HJB-QVI):

\max\left\{\frac{\partial V}{\partial t}+\sup\{\mathcal{L}\circ V\}-\gamma y^2\frac{\mathbb{E_t}[P,P]_t}{dt},\mathcal{M}\circ V-V\right\}=0, на промежутке [0, T), (T - время ликвидации открытых позиций (окончание торговли)), и составляет систему уравнений с терминальным условием:

V(T,x,y,p,f,s)=x+py-|y|(s/2+\epsilon).

Решением этой системы уравнений и будет набор стратегий \theta^{mk}_t, \theta^{tk}_t, вычисленные на каждый момент времени в промежутке [0,T), и на каждую величину спреда s, как изображено на графиках в заглавии статьи. Обратите внимание, что там появилась новая область в связи с размером спреда s>\delta - Pinging on bid\ask side. В этой области значения \theta^{mk} равны 1 для бида/аска, что означает, что лимитные ордера выставляются в стакане на тик больше бида (тик меньше аска) - см. часть2 настоящей статьи.

В следующей части рассмотрим как решить систему уравнений численными методами.

5 Комментарии[ Ваш комментарий ]

  1. Привет.

    Выложил на хостинг интересный материал. До конца сам не очень понимаю что там написано, если сможешь, сделай пару тем в блоге по разбору этого материала и что на твой взгляд перспективно. Заранее спасибо!

    Моделирование и анализ данных книг учета лимитных заявок Активная модель управления очередью.pdf  http://rghost.net/6TMQX4YCz

    О максимальном влиянии агрессивных ордеров на перемещение ликвидности.pdf http://rghost.net/6Mmq8XCvY

    О формализации понятия токсичности потока заявок на финансовых рынках http://rghost.net/8SnwwNYQ4

  2. О РАБОТАХ В ОБЛАСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПОТОКОВ В СОВРЕМЕННЫХ
    ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ФИНАНСОВЫХ ПРИЛОЖЕНИЯХ  http://rghost.net/8DhPP9hGC

  3. в уравнении L∘V(t,x,y,p,f,s) в строке 2 и 3 отсутствует скобка в выражении V.

Сообщение

Обратите внимание: вы можете использоватьHTML tags and attributes:
<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>