ГлавнаяМатематические модели › Модернизация стратегии robot_uralpro. Lead-lag relationship

Модернизация стратегии robot_uralpro. Lead-lag relationship

108Трейдеры, которые приобрели мою программу robot_uralpro, спрашивают, можно ли доработать алгоритм для применения его на современном рынке? Напомню, стратегия робота основана на взаимоотношении цен синтетического индекса, составляемого динамически из рыночных цен акций, входящих в индекс РТС, и фьючерса RI. Идея "одноногого" статистического арбитража, реализованного в роботе, будет работать и сейчас, только в том случае, если научиться правильно определять, какой актив опережает другой в смысле динамики их цен. Эта статья посвящена правильному выявлению такого взаимодействия, которое в англоязычных источниках называется "lead-lag relationship" -опережение-отставание между разными активами.

Те алготрейдеры, кто не приобретал robot_uralpro, тоже сочтут эту статью полезной, так как lead-lag relationship может использоваться в стратегиях парного трейдинга и им подобным. Например, определив такое взаимодействие, можно исключить из парного трейдинга один из активов ( с учетом того, конечно, что отношение торгуемых инструментов было описано четкой моделью) и значительно увеличить тем самым прибыльность стратегии.

Могу сразу отметить, что на современной бирже в большинстве случаев изменение цены фьючерса в направлении последующего движения рынка происходит раньше, чем изменение значения синтетического индекса. Объясняется это тем, что фьючерс торгуется активнее, его волатильность больше, порог входа  меньше. Однако это знание ничего не дает в плане построения алгоритма, потому что нам надо точно определить, когда эти случаи происходят, сколько времени длятся, и когда все-таки индекс начинает идти вперед. Обычно для этого предлагается использовать кросс-ковариацию приращений цен активов, получаемую путем расчета ковариации, когда выборка приращений цен одного из активов сдвинута во времени на некоторую величину , называемую лагом:

\gamma(k)=cov(\Delta p_t,\Delta q_{t-k}), \;\Delta p_t=p_t-p_{t-1}, \Delta q_t=q_t-q_{t-1}, где

\gamma(k) - кросс-ковариация для лага k;

\Delta p_t,\Delta q_t - текущие приращения цен первого и второго активов.

Если кросс-ковариация положительна при положительном k, то делается вывод, что актив q опережает актив p, если кросс-ковариация положительна при отрицательном k, то актив p опережает актив q.

Однако правильное вычисление кросс-ковариации возможно, если данные о приращении цены поступают через равные интервалы времени t и не содержат пропусков . Ни то, ни другое условие не выполняется для высокочастотных данных, которые требуются для HFT и просто intraday алгоритмов. Обычно эту проблему решают так - разбивают выборку на равные интервалы и если между ними не происходило изменение цены, то полагают приращение цены равным 0. Это приводит к сильной зависимости ковариации от частоты разбиения и в общем к неправильному ее вычислению в динамическом режиме. Кроме того, ковариация зависит и от величины приращения цен, что в случае большой разницы между ценами активов, также приводит к неверным результатам.

Более точный подход к определению lead-lag relationship предлагают авторы работы "Intraday Lead-Lag Relationships between the Futures-, Options and Stock Market". Для получения правильного значения кросс-ковариации берутся приращения цен, взятые между двумя наблюдениями , между которыми может быть более одного изменения цены. Рассмотрим всю процедуру вычисления более подробно.

Обозначим наблюдения цены p_t индексом i, цены q_t индексом j, и общее число наблюдений N и M соответственно. Разница между двумя разными уровнями цены может быть записана как сумма приращений ненаблюдаемого процесса изменения цены в интервале между наблюдениями:

p_{t_{i+1}}-p_{t_i}=\sum_{t=t_i+1}^{t_{i+1}}\Delta p_t

где t_i означает временную метку i-го наблюдения. Кросс-произведение приращения цен между двумя активами запишем как:

y_{ij}=(p_{t_{i+1}}-p_{t_i})(q_{t_{j+1}}-q_{t_j})=\sum_{t=t_i+1}^{t_{i+1}}\Delta p_t\sum_{t=t_j+1}^{t_{j+1}}\Delta q_s

Математическое ожидание этого кросс-произведения есть линейная комбинация кросс-ковариаций:

E(y_{ij}|t_i,t_j,t_{i+1},t_{j+1})=E(\sum_{t=t_i+1}^{t_{i+1}}\Delta p_t\sum_{t=t_j+1}^{t_{j+1}}\Delta q_s)=\sum_{t=t_i+1}^{t_{i+1}}\sum_{t=t_j+1}^{t_{j+1}}\gamma(t-s)

и это выражение зависит от наблюдаемых моментов времени (t_i,t_j,t_{i+1},t_{j+1}). Далее обозначим x_{ij}(k) число раз, когда \gamma(k) появляется в выше приведенном выражении:

x_{ij}(k)=\max(0,\min(t_{i+1},t_{j+1}+k)-\max(t_i,t_j+k)).

Важной особенностью x_{ij} является то, что эти значения зависят только от моментов времени наблюдаемых изменений цены (t_i,t_j,t_{i+1},t_{j+1}) и не зависят от цены активов. Таким образом,мы можем записать E(y_{ij}) как линейную комбинацию ковариаций \gamma(k),\;k=-K...K:

E(y_{ij}|x_{ij})=\sum_{k=-K}^K x_{ij}(k)\gamma(k)

Вышеприведенное выражение может рассматриваться как выражение регрессии с неизвестными кросс-ковариациями \gamma(k) в виде параметров и коэффициентами x_{ij} в виде объясняющих переменных. В векторной записи:

y_{ij}=x_{ij}^{`}\gamma+e_{ij}.

Таким образом, кросс-ковариации могут быть вычислены методом наименьших квадратов по наблюдениям y_{ij} и рассчитанным значениям x_{ij}.

В рассмотренном методе могут быть использованы любые интервалы между наблюдаемыми ценами, в зависимости от требуемой вами частоты сделок. Также достаточно ограничиться интервалами, где |t_{i-1}-t_j|\geq K,|t_i-t_{j+1}|\geq K, где К - максимальный требуемый лаг.

В заглавии поста приведен график кросс корелляции между приращениями цены индекса AEX амстердамской биржи и фьючерса на этот индекс. Минимальный шаг лага k взят равным пяти минутам. Максимальное значение K=6, то есть приращения цен измеряются внутри пересекающегося интервала длительностью 30 мин. Из этого графика видно, что на интервалах от 0 до 15 минут фьючерс опережает индекс с максимальным значением корреляции в районе 5 мин.

Кстати, очень перспективно выявления lead-lag relationship между фьючерсом и его опционами. Кто сможет правильно произвести все вычисления, получит очень интересный алгоритм статистического арбитража.

Также дам рекомендацию тем, кто улучшает алгоритм robot_uralpro. Не стремитесь к очень высокой частоте сделок, увеличьте немного интервалы расчетов, там уйдут многие микроструктурные особенности, которые и не учитывались в 2010 году этой стратегией, но имеют сильное влияние сейчас. Это значительно облегчит вашу работу. Но помните, что слишком большой интервал между сделками тоже приведет к уменьшению статистической достоверности. По моим испытаниям этого алгоритма в тестировании на современных данных выходило около 500 сделок в день при объеме 5 контрактов RI, ориентируйтесь на это значение.

7 Комментарии[ Ваш комментарий ]

  1. Поясните причину выбора расчета кросс-ковариации именно к приращениям цены, а не к самим ценам. Сам всегда считал лаги без приращений и до сих пор не могу понять повсеместное использование ценовых приращений.

    Насчет зависимости расчетов от квантования рядов. Возможно, стоит посмотреть в сторону независимых от квантования алгоритмов сравнения. Когда первый цВР остается неизменным. А второму цВР в качестве на выходе дается вектор "масштабов времени".

    • Ну выбор сделали авторы статьи. Я тоже согласен с эти выбором в рамках стратегии робота - алгоритм реагирует именно на приращения, поэтому логичней искать ковариацию приращений, так как нужно оценить опережающий импульс одного из активов.
       

    • Помню ваши статьи еще на Русском трейдере, по-моему. Очень были интересными, я даже что-то в роботах использовал. Не хотите на этом сайте что-то разместить из нового? Было бы здорово.

    • Растут две бумаги, одна растёт быстрее другой, в таком случае в кросковариации будет кумулятивно накапливаться ошибка расчёта.

      разница нивелирует влияние трендов, которые приводят к ошибкам в расчёте кросковариации.

  2. Читал эту статью год назад, но так и не разобрался. Сейчас вторая попытка )))

    Если я правильно понял, то Xij  считается исходя из длины интервала между наблюдениями.

    Например, первое наблюдение в 0 секунд, второе 10 секунд, лаг 2.

    Тогда Xij = max(0, min(10, 10+2) - max(0, 0+2)) = 8;

    Получается, что у нас этот коэффициент постоянный? Или я ошибаюсь и неправильно понимаю смысл этого коэффициента?

    Или эти периоды должны быть разными? 

  3. Очень интересно написано, спасибо. Тем не менее не понял основную идею: В статье указано, что в большинстве случаев изменение цены фьючерса опережает изменение индекса. Однако в конце  ("500 сделок в день при объеме 5 контрактов RI" ) следует что торгуется все таки фьюч. На основании какой идеи расчитывается точка входа?

    • Это зависит от выбранного инструмента. На некоторых базовый актив опережает фьючерс, на некоторых наоборот. Иногда бывает, что в какие-то периоды фьючерс идет вперед, а в другие периоды - базовый актив. Для этого и нужно динамически определять, кто лидирует в настоящий момент

Ответ на uralpro ¬
Отменить ответ

Обратите внимание: вы можете использоватьHTML tags and attributes:
<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>