QuantAlgos

   В этой части статьи мы найдем численное решение системы уравнений оптимального управления позицией маркетмейкера. Такое решение легко запрограммировать и использовать в реальной торговле для контроля за лимитными и маркет ордерами в соответствии с полученными стратегиями $\theta^{mk},\theta^{tk}$. Для упрощения разложим функцию владения на слагаемые, чтобы получить сокращенную функцию владения $v(t,y,f,s)$, которая представляет собой только динамическую составляющую основной функции:

$V(t,x,y,p,f,s)=x+py+v(t,y,f,s)$

Для $v$ система уравнений выглядит следующим образом:

$\max\left[\frac{\partial v}{\partial t}+y\frac{\mathbb{E}_t dP_t}{dt}+\mathcal{L}^F\circ v-\gamma y^2\frac{\mathbb{E}_t d[P,P]_t}{dt}+\sup_{\theta^{mk}}\left\{g^a(f,s,\theta^{mk,b}_t)(v(t,y+1,f,s)-v(t,y,f,s)+s/2-\delta \theta^{mk,b}_t)+g^b(f,s,\theta^{mk,a}_t)(v(t,y-1,f,s)-v(t,y,f,s)+s/2-\delta\theta^{mk,a}_t)\right\}, \sup\{v(t,y+\zeta,f,s)-|\zeta|(s/2+\epsilon)\}-v\right]=0$

с терминальным условием:

$v(T,y,f,s)=-|y|(s/2+\epsilon).$

Переходим к численному решению. Зададим на интервале $[0,T]$ дискретную сетку времени $t$ с равными интервалами $\Delta_T=T/N_T$:

$\mathbb{T}_{N_T}=\{t_k=k\Delta_T,k=0,...,N_T\}$

Также дискретизируем открытую позицию $\mathbb{Y}$ и дисбаланс объема $\mathbb{F}$, с максимальными значениями $M_Y, M_F$ и шагами дискретизации $\Delta_Y=M_Y/N_Y, \Delta_F=M_F/N_F$, где

$\mathbb{Y}_{N_Y}=\{y_i=i\Delta_Y,i=-N_Y,...,N_Y\}, \mathbb{F}_{N_F}=\{f_j=j\Delta_F,j=-N_F,...,N_F\}.$

Далее, для вычисления численных производных по дисбалансу объема F, определим две дифференциальные матрицы - $D_1$ для вычисления производной первого порядка и $D_2$ - для вычисления производной второго порядка, на сетке $\mathbb{F}_{N_F}$:

$D_2 v(t,y,f_j,s)=\Bigg(\frac{v(t,y,f_{j+1},s)-2v(t,y,f_j,s)+v(t,y,f_{j-1},s)}{(\Delta_F)^2}\Bigg)$

$\begin{matrix}D_1 v(t,y,f_j,s)= \left\{ \begin{matrix} \frac{v(t,y,f_{j+1},s)-v(t,y,f_j,s)}{\Delta_F}& \mbox{if }f_j< 0 \\ \frac{v(t,y,f_j,s)-v(t,y,f_{j-1},s)}{\Delta_F}&\mbox{if }f_j\geq 0 \end{matrix} \right. \end{matrix}$

Обозначим оператор выбора для любой действительной функции $\phi\mapsto :\phi(t,y,f,s)$:

$\mathcal{A}(t,y,f,s,\phi)=\max\{\widetilde{\mathcal{L}}(t,y,f,s,\phi),\widetilde{\mathcal{M}}\circ\widetilde{\mathcal{L}}(t,y,f,s,\phi)\}$

Оператор выбора имеет простой смысл: если некая функция $\phi$ максимальна при воздействии оператора $\widetilde{\mathcal{L}}$ (что для функции владения соответствует использованию лимитных ордеров) или оператора $\widetilde{\mathcal{M}}\circ\widetilde{\mathcal{L}}$ (использование маркет ордеров), то при текущих параметрах t,y,f,s выбирается именно эта политика (то есть лимитные или маркет-ордера).

Выражения для операторов в фигурных скобках:

$\widetilde{\mathcal{L}}(t,y,:,s,\phi)=(I_{N_F\times N_F}-\Delta_T\sigma^2_F D_2-\Delta_T\alpha_F(\mathbb{F}_{N_F}1_{N_F})..D_1)^{-1}\times \Bigg(\phi(t,y,:,s)+\Delta_T y \frac{\mathbb{E}_t dP_t}{dt}+\Delta_T\mathcal{L}^S(\phi(t,y,:,s))-\Delta_T\gamma y^2\frac{\mathbb{E}_t d[P,P]_t}{dt}+\Delta_T\sup_{\theta^{mk}}\{g^a(:,s,\theta^{mk,b}_t)..(\phi(t,y+1,:,s)-\phi(t,y,:,s)+s/2-\delta\theta^{mk,b}_t)+g^b(:,s,\theta^{mk,a}_t)..(\phi(t,y-1,:,s)-\phi(t,y,:,s)+s/2-\delta\theta^{mk,a}_t)\}\Bigg)$

$\widetilde{\mathcal{M}}\circ\widetilde{\mathcal{L}}(t,y,f,s,\phi)=\sup_{|\zeta|\leq\zeta_{max}}\{\widetilde{\mathcal{L}}(t,y+\zeta,f,s,\phi)-|\zeta|(s/2+\epsilon)\}$

здесь $I_{N_F\times N_F}$ - матрица идентичности размерностью $N_F\times N_F$ (матрица,где по главной диагонали расположены единицы, остальные элементы 0), $\mathbb{F}_{N_F}$ - столбец значений дисбаланса, $1_{N_F}$ - единичный вектор размерностью $N_F\times 1$, .. означает поэлементное произведение векторов и матриц. Таким образом, $\widetilde{\mathcal{L}}$ представляет собой вектор размерностью $N_F$ на сетке $\mathbb{F}_{N_F}$.

Аппроксимируем решение сокращенной функции владения $v$ численным решением $w$:

$w(T,y,f,s)=-|y|(s/2+\epsilon)$

$w(t_k,y,f,s)=\mathcal{A}(t_{k+1},y,f,s,w), k=N_T-1,N_T-2,..,0$

Полное решение для функции владения можно получить методом обратной индукции, который состоит из следующих последовательных шагов:

1. На конечный момент времени $t_{N_T}=T$: для каждой комбинации значений (y,f,s) вычисляем $w(T,y,f,s)=-|y|(s/2+\epsilon)$.

2. Начиная с момента времени $t_{k+1}$ до момента $t_k$, где k пробегает значения от $N_T-1$ до 0 для каждой комбинации (y,f,s) делаем следующее:

• Вычисляем $\widetilde{\mathcal{L}}(t_{k+1},y,f,s,w)$ по вышеприведенной формуле и находим политику лимитных ордеров $\theta^{mk,*}$
• Вычисляем $\widetilde{\mathcal{M}}\circ\widetilde{\mathcal{L}}(t_{k+1},y,f,s,w)$, и находим политику маркет ордеров $\theta^{tk,*}$
• Если $\widetilde{\mathcal{L}}(t_{k+1},y,f,s,w)\geq\widetilde{\mathcal{M}}\circ\widetilde{\mathcal{L}}(t_{k+1},y,f,s,w)$, то текущей политикой на момент времени $t_k$ выбирается $\theta^{mk,*}$, при значениях (y,f,s), то есть в этот момент времени используюся лимитные ордера, согласно значению $\theta^{mk,*}$ , которое, как мы помним означает выставление ордера, с количеством контрактов =1, или на лучший бид/аск, или перед/до него.
• В обратном случае выбирается политика $\theta^{tk,*}$ в момент времени $t_k$ при значениях (y,f,s), то есть используются маркет ордера с количеством контрактов, вычисленных в $\theta^{tk,*}$

Таким образом, для всех значений времени t, всех значений открытой позиции y, всех значений дисбаланса объемов f и всех значений спреда s - (t,y,f,s)- мы определяем, какие ордера нам ипользовать в каждом случае, и формируем области, подобные указанным на графике в заглавии, где изображены политики при значениях спреда, равному шагу цены, и значению времени, меньше на 3 единицы (например, секунды) времени окончания торговли, для всех значений открытой позиции и спреда. Что означают эти области, вы можете посмотреть в части 2 и части 3 данного цикла статей. В следующей статье обсудим, как находить параметры в уравнении для $\widetilde{\mathcal{L}}(t_{k},y,f,s,w)$, основываясь на реальных биржевых данных, и начнем составлять код на C# для численного решения методом обратной индукции.